Dado que pasado mañana, 14 de marzo, es el Día de Pi, esta semana damos una aproximación curiosa a un juego de fundamento matemático, que resulta en una Tabla Periódica especial. Precisamente Fernando Blasco habla de este tema en el libro publicado anteayer domingo junto al diario El País, “Más allá de la razón áurea. Las constantes matemáticas” p. 131.
John Conway, matemático, fue quien propuso la secuencia “look and say” (mira y di), donde se empieza por un solo dígito, por ejemplo el 3:
- Escribir “3”
- Y entonces se cuenta en voz alta, y se escribe…
- “13”, es decir, “uno tres”
- Y se vuelve a contar secuencias seguidas de unos, dos y tres (no puede salir ningún otro número)
- “Uno uno, uno tres”, o sea, 1113
- Se repite:
- 3113, o sea “tres unos, uno tres”
- Otra vez: 132113, o sea “uno tres, dos unos, uno tres”
- Si se continua, entonces se forma la secuencia 1113122113, 311311222113, etc.
Conway se dio cuenta de que la largada de esta secuencia aumenta indefinidamente de forma constante: cada término es más largo que el anterior en 1,3035772690 … y por eso, se ha bautizado como la Constante de Conway.
De hecho, se puede ir al revés… si se coge una secuencia y se usa como si fuera un programa o una receta, de dos en dos, sería por ejemplo a partir 132113:
- “Escribe un tres, escribe dos unos, escribe un tres”, es decir, 3113
- Entonces “Escribe tres unos, escribe un tres”, es decir, 1113
- Entonces “Escribe un uno, escribe un tres”, es decir, 13
- Finalmente “Escribe un tres”, que resulta en el dígito inicial, el 3.
En esta ocasión usaremos sólo el “Cuenta y di” directo, donde la secuencia parte de un dígito y se incrementa.
Pero aquí lo que nos interesa más es que Conway se dio cuenta tmbién de que, cuando la secuencia avanzaba, algunas partes se podían separar y evolucionar de forma independiente. Las nombró “elementos“, y, claro, de aquí ya definió toda una Tabla Periódica con Elementos Audioactivos (TPEA)… pero de estos elementos sólo hay 92, o sea, que llega curiosamente al Uranio!
Para visualizarlo mejor, hemos hecho una Tabla Periódica de los Elementos Audioactivos interactiva, que se puede ampliar para ver la secuencia de cada elemento, y también permite intercambiar en la forma larga, de Janet, de Scerri… De la propia Tabla Periódica de los Elementos Químicos.
Conway descubrió que partiendo del Uranio (“3”), se podía definir todos los elementos hasta el Hidrógeno (“22”), que es el único estable. Como si fuera un juego de Pokémon, cada elemento evoluciona hacia su anterior inmediato, cuando se aplica el método look-and-say (mira y di, o mejor “cuenta y escribe”). Los qu están en veerde, se desintegran audioactivamente (leyendo y diciendo) sólo al elemento inmediato inferior.
¿Pero qué le sucede a un elemento en rojo? Pues que en evolucionar hacia el elemento siguiente (el de un número atómico inferior, haciendo el procedimiento “cuenta y escribe”), como si fuera un Pokémon, se desintegra por fisión, y se rompe en dos o más elementos, de tal forma que la largada de la secuencia se queda mucho más pequeña. Por ejemplo, cuando el Radón (Rn) evoluciona hacia Astato (At) genera una secuencia que contiene el elemento Holmi (Ho), que expulsa, y la largada de la secuencia de At es muy inferior a la inicial, debido a la fisión de dos elementos: Rn -> Ho + At.
Nótese que al principio hay la secuencia U->Pa->Th->Ac->Ra->Fr->Rn sin ninguna desintegración, que de hecho es una de las más largas sin fisión.
Hay un solo elemento azul, el Hidrógeno, porque es el único que no se desintegra audioactivamente en ningún otro: si leemos “22” nos resulta, al contar, “dos dos” es decir, “22”, exactamente lo mismo, y de aquí no salimos; estabilidad total.
En la Tabla Periódica de esta entrada hay las secuencias completas de cada elemento, a partir de las cuales se pueden deducir las siguientes, por evolución. También se puede obsevar una curiosa geometría de los elementos rojos: los cinco Sc-Ta y los ocho Ga-I tienen simetría rotacional (y son como piezas del tetris quiral). Ya es curioso también que a la columna de Nitógreno haya cuatro elementos rojos!
Para obtener más información, y probar otros puntos de partida (“1”, “2”, “21”, “3112”, etc), se recomienda coger papel y lápiz e ir contando e escribiendo… O bien usar una página web que lo hace automáticamente, paso a paso.
Entonces, ¿cuál es el juego de hoy?
Trivial:
- Diseñar una Tabla Periódica hasta el Uranio, escribiendo las secuencias y decorando artísticamente los elementos que se desintegran al evolucionar.
Principiante, para todas las edades:
- Se puede plantear sólo la secuencia look-and-say sencilla directa, y a partir de ‘1″, “2”, “3”… e ir derivando los términos siguientes.
- También se puede hacer al revés: como si fuera una receta, a partir de una secuencia (válida) de unos, dos y tres, y acabar por la secuencia incial.
Intermedio:
- Empezar por el Uranio y acabar en el Radón.
- Hacer otras secuencias que empiecen por un elemento verde y acaben en uno rojo.
- Se puede empezar por Uranio (“3”) y ver por qué en evolucionar un elemento rojo, se desintegra audioactivamente. A partir del mapa proporcionado se puede detectar cada desintegración).
Avanzado:
- Se pueden fusionar dos elementos, y ver cómo evolucionan. Pueden pasar cosas interesantes. Ojo! La fusión no es conmutativa: no es lo mismo hacer Cl.Ag que Ag.Cl
¡Se puede usar con otros juegos de la Tabla Periódica, por supuesto!
Referencias:
- Evolución de los 92 elementos de la Tabla Periódica dels Elementos Audioactivos
- Mapa, listado, abundancias… de los elementos de la TPEA.
- Generador de secuencias general
- Listado de los 92 elementos de la TPEA (via https://oeis.org/A119566)
Más allá de los 92 elementos comunes:
- Hay dos elementos transuránicos, si la secuencia empieza por un dígito diferente a 1, 2 o 3.
- Hay dos elementos exóticos, que no son ni comunes (de los 92) y ni de los dos transuránicos.
- Referencia: https://web.archive.org/web/20061224154744/http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/omartin/Biochem.PDF
A continuación damos la lista entera de los 92 elements audioactivos, por orden de número atómico, tal y como está explicitado también en la imagen que acompaña esta entrada.
1 22 2 13112221133211322112211213322112 3 312211322212221121123222112 4 111312211312113221133211322112211213322112 5 1321132122211322212221121123222112 6 3113112211322112211213322112 7 111312212221121123222112 8 132112211213322112 9 31121123222112 10 111213322112 11 123222112 12 3113322112 13 1113222112 14 1322112 15 311311222112 16 1113122112 17 132112 18 3112 19 1112 20 12 21 3113112221133112 22 11131221131112 23 13211312 24 31132 25 111311222112 26 13122112 27 32112 28 11133112 29 131112 30 312 31 13221133122211332 32 31131122211311122113222 33 11131221131211322113322112 34 13211321222113222112 35 3113112211322112 36 11131221222112 37 1321122112 38 3112112 39 1112133 40 12322211331222113112211 41 11131221133221131112211312221 42 13211322211312113211 43 311322113212221 44 132211331222113112211 45 311311222113111221131221 46 111312211312113211 47 132113212221 48 3113112211 49 11131221 50 13211 51 3112221 52 1322113312211 53 311311222113111221 54 11131221131211 55 13211321 56 311311 57 11131 58 1321133112 59 31131112 60 111312 61 132 62 311332 63 1113222 64 13221133112 65 3113112221131112 66 111312211312 67 1321132 68 311311222 69 11131221133112 70 1321131112 71 311312 72 11132 73 13112221133211322112211213322113 74 312211322212221121123222113 75 111312211312113221133211322112211213322113 76 1321132122211322212221121123222113 77 3113112211322112211213322113 78 111312212221121123222113 79 132112211213322113 80 31121123222113 81 111213322113 82 123222113 83 3113322113 84 1113222113 85 1322113 86 311311222113 87 1113122113 88 132113 89 3113 90 1113 91 13 92 3
